1 Geschichtliches

Thema: Darstellung und Diskussion verschiedener Methoden, die Kreiszahl p näherungsweise zu bestimmen

Inhaltsverzeichnis

1 Geschichtliches

2 Darstellung und Diskussion verschiedener Methoden, die Kreiszahl p näherungsweise zu bestimmen

2.1 Methoden durch Denkansätze

2.1.1 Ein- und Umbeschreibung von Vielecken

2.1.1.1 Nach Archimedes

2.1.1.2 Nach Gregory

2.1.2 Annäherung an eine Fläche

2.1.3 Monte-Carlo-Methode

2.2 Fortgeschrittene Formeln

2.2.1 Nach Eugene Salamin und Richard Brent

2.2.2 Nach David Bailey, Peter Borwein und Simon Plouffe

2.3 Bestimmung von p durch Reihen

2.3.1 Nach Leibnitz

2.3.2 Nach Euler

2.3.3 Nach Wallis

2.3.4 Nach Viète

2.3.5 Nach Brouncker

3 Zukunftsaussichten und Stellensinn

4 Anhang

4.1 Zusammenfassung aller beschriebenen Methoden und Verfahren

4.2 Die ersten 1500 Stellen der Kreiszahl

4.3 Tabellarischer Überblick über die Geschichte der Zahl p

Vor ungefähr einer Million Jahren erblickte der erste Mensch das Licht der Welt, doch erst seit ungefähr 4000 Jahren ist der Menschheit die Kreiszahl PI (im Folgenden p), damals noch als eine Konstante vom Wert 3, bekannt. Wie kam es dazu? Der Mensch in der Steinzeit entdeckte in seiner Umwelt, sei es anhand von Bäumen, Blumen oder Steinen, allerlei Formen. Er war sofort fasziniert. Im Lauf der Zeit stellte der Urmensch zum Beispiel fest, daß der größere von zwei Steinen auch eine größere Masse hat, daß die Masse also vom Volumen abhängig ist. Er stellte Beziehungen auf, so auch:

„Je größer der Durchmesser eines Kreises, desto größer dessen Umfang“

Dies war die Geburtsstunde der Kreiszahl, da das Verhältnis dieser beiden Werte nämlich Umfang und Durchmesser eben p ergibt:

Wie im Anhang bewiesen wird, ist die Kreiszahl p eine irrationale Zahl. Man kann Sie also weder als endlichen noch als unendlich-periodischen Dezimalbruch darstellen. Folglich ist es nur möglich, p nach der Anzahl seiner Stellen mehr oder weniger genau anzugeben. Genau dieser Zufall führte zu vielen Näherungen im Laufe der Zeit. Schon die Babylonier hatten im Jahre 2000 v. Chr. mit p = 3 1/8 und die Ägypter mit p = (16/9)² sehr gute Werte. Diese wurden ausschließlich durch Überlegungen, auf die ich im nächsten Kapitel genauer eingehen werde, bestimmt. Dagegen ist die Näherung der Chinesen mit p = 3 geradezu primitiv. Auch in der Bibel im ersten Buch der Könige, geschrieben im Jahre 550 v. Chr. heißt es:

„[Das Meer] maß zehn Ellen von einem Rand zum andern; es war völlig rund...Eine Schnur von dreißig Ellen konnte es rings umspannen.“⁽¹⁾

Für p ergibt sich daraus ein Wert von genau 3. Jedoch erst im späten 16. Jahrhundert beugte sich die Kirche dem immensen Druck der Wissenschaft und gab die Unfehlbarkeit der Bibel auf. Nach diesem Zugeständnis der Kirche und der Entdeckung der Irrationalität von p durch François Viète im Jahre 1593 wurde die Kreiszahl auf immer mehr Dezimalen genau bestimmt. Berechnete Ludolph van Ceulen 1596 „nur“ 20 Stellen, so waren es 1699 bereits 71 Dezimalen nach Sharp, und Strassnitzky/Dase ermittelten für die Kreiszahl im Jahre 1844 sogar schon 200 Stellen. Ab Mitte des 20. Jahrhunderts waren der Berechnung dank der Einführung des Computers kaum noch Grenzen gesetzt. Im Jahre 1973 erreichten Guilloud und Bouyer bereits die millionste Stelle. Das Ziel p auf eine Milliarde Stellen zu berechnen, gelang Kanada mit Hilfe von Yoshino und Tamura bereits neun Jahre später. Mittlerweile (1995) konnte Kanada seinen eigenen Rekord noch übertrumpfen, indem er 64 Milliarden Stellen berechnete. Wann die billionste Stelle der Zahl p erreicht wird ist sicherlich auch nur noch eine Frage der Zeit, über den Sinn solcher Berechnungen läßt sich allerdings streiten. Hier alle Näherungswerte und Verbesserungen anzugeben wäre sicherlich übertrieben. Eine genaue tabellarische Übersicht über die Geschichte der Berechnung der Kreiszahl p kann deswegen dem Anhang entnommen werden.

Im nächsten Kapitel werden die wichtigsten und bekanntesten Verfahren zur Bestimmung eben dieser oben genannten Näherungswerte erläutert.

2.1.1 Ein- und Umbeschreibung von Vielecken

Mit diesem im Jahre 250 v.Chr. von Archimedes von Syrakus erdachten Verfahren konnten schon relativ früh gute Ergebnisse ermittelt werden.

Vorüberlegung

Beginnen wir unsere Betrachtungen an einem Kreis mit dem Radius 0,5. Setzen wir diesen Wert in die bereits bekannte Formel p = U/d ein, so erhalten wir für den Umfang des Kreises den Wert p. In diesen Kreis wird ein n-Eck einbeschrieben, da dessen Umfang mit den schon sehr viel früher entdeckten Formeln relativ leicht zu berechnen ist. Verständlicherweise ist der Umfang des n-Ecks kleiner als der, des Kreises. Verdoppelt man allerdings die Eckenanzahl so nähert sich das Vieleck und somit auch der Umfang immer mehr dem Kreis an. Bei einer relativ hohen Anzahl von Ecken scheint der Umfang des n-Ecks gleich dem Umfang des Kreises und damit gleich p zu sein.

Natürlich kann man Vielecke nicht nur einbeschreiben, sondern auch umbeschreiben. Allerdings ist hier der Umfang stets größer als beim Kreis, nimmt mit wachsender Eckenanzahl ab und nähert sich schließlich dem Umfang des Kreises bzw. der Kreiszahl an.

Bei steigender Eckenanzahl wird die Differenz zwischen einbeschriebenen und umbeschriebenen Vielecken immer kleiner, geht also gegen 0. Sie bilden eine Intervallschachtelung für den Kreisumfang.

Da der Umfang dieses Kreises p ist, kann man obige Überlegung noch erweitern:

Mit dieser Vorüberlegung kann man die Kreiszahl nun ziemlich einfach auf mehrere Stellen genau errechnen.

2.1.1.1 nach Archimedes⁽²⁾

Berechnung

Bei der rechten Skizze handelt es sich um einen Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r = 0,5. s_n sei die Seite eines einbe-schriebenen Vielecks. Verdoppelt man die Eckenanzahl so wird die neue Seite des Vielecks mit s_2n bezeichnet.

Im folgenden Rechenbeispiel wird Schritt für Schritt eine Beziehung zwischen s_2n und s_n hergestellt.

Für das rechtwinklige Dreieck ABF ergibt sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras folgende Beziehung:

oder (1):

Die Strecke von B nach F ist wiederum durch folgende Gleichung (2) gegeben:

Durch erneutes Anwenden des Satzes von Pythagoras erhält man:

Und somit (3):

Setzt man nun (3) in (2) ein, und diese Gleichung wiederum in (1), so erhält man:

Nach Vereinfachung ergibt sich:

Damit ergibt sich für die Berechnung des Umfangs folgende Formel:

mit

Auswertung

Für diese Formel brauchen wir allerdings einen Startwert. Es ist allgemein bekannt, daß sich der Radius genau 6 Mal am Kreis abtragen läßt. Für das 6-Eck mit n = 6 ergibt sich also eine Seitenlänge von s₆= 0,5 und für den Umfang somit U = n * s₆ = 6 * 0,5 = 3. Dies ist zugleich unsere erste Näherung für p. Setzen wir die Zahlen in obige Formel ein, so erhalten wir mit dem Umfang des 12-Ecks einen noch genaueren Wert. Dies kann beliebig oft wiederholt werden. Schon beim 5.Durchlauf erhalten wir mit einem Umfang von U = 3,1410... für das 96-Eck einen sehr guten Wert für p.

Durchlauf	Ergebnis	Korrekte Nachkommastellen
1	3.0000000000...	0
5	3.1410319508...	3
10	3.1415921059...	6
16	3.1415926534...	9
17	3.1415926539...	9
20	3.1415926880...	7
35	16.9705627484...	0
40	543.0580079512...	0

Betrachtet man obige Tabelle (die Werte aller nachfolgenden Methoden wurden stets den Programmen auf der beigefügten CD-ROM entnommen), so stellt man fest, daß das Verfahren von Archimedes bei jedem Durchlauf weniger als 1 neue korrekte Nach-kommastellen liefert. Für die Ermittlung von mehreren Millionen Stellen ist diese Methode also nicht zu gebrauchen, da dies zu zeitintensiv wäre. Weiterhin kann man erkennen, daß bis zum 16. Durchlauf eine stetige Verbesserung zu verzeichnen ist. Mit weiteren Durchgängen ist dies aber nicht mehr ersichtlich. Es kann sogar festgestellt werden, daß das Ergebnis immer ungenauer wird. Dies ist in darin begründet, daß s_n mit zunehmender Seitenanzahl immer kleiner wird und somit, insbesondere auf Grund der Wurzel, immer ungenauer wird. Der Computer muß alle Werte runden, weil ihm für jede Variable nur eine begrenzte Anzahl von Stellen zur Verfügung steht. In unserem Fall wird s_nstets unpräziser und somit zwangsweise auch der Umfang des Kreises, also die Kreiszahl.

Berechnung

Wie bereits erwähnt kann man dieses Verfahren auch auf umbeschriebene Vielecke anwenden. Da es sich jedoch größtenteils um die selben Gedankengänge handelt, werde ich auf eine genauere Erläuterung verzichten und diese Methode lediglich vereinfacht darstellen.

Abermals betrachten wir einen Kreis mit dem Radius r = 0,5. Wir ergänzen die Skizze jedoch um eine umbeschriebene Seite t_2n.

Nach dem Strahlensatz gilt (1):

Und nach Pythagoras erhält man (2):

Setzt man (1) in (2) ein und multipliziert mit der Seitenanzahl n, so ergibt sich für den Umfang die endgültige Formel:

Auswertung

Die Auswertung für das umbeschriebene n-Eck ist analog zu der des einbeschriebenen Vielecks. Der entscheidende Unterschied bei dieser Formel ist jedoch, daß man hier nicht den erhaltenen Wert einsetzt, um die Kreiszahl zu präzisieren, sondern stets die Seitenlänge des einbeschriebenen n-Ecks benötigt. Das Ergebnis ist also von diesen Werten abhängig. Es ist deswegen vollkommen logisch, daß ebenfalls ab dem 17. Durchlauf die Ergebnisse von p abweichen.

Durchlauf	Ergebnis	Korrekte Nachkommastellen
1	3.4641016151...	0
5	3.1427145996...	2
10	3.1415937487...	5
16	3.1415926538...	9
17	3.1415926540...	8
20	3.1415926880...	7
35	16.9705627484...	0
40	543.0580079512...	0

Wie bereits gesagt sind die Ergebnisse nicht vom vorhergehenden Resultat, sondern vom Wert der einbeschriebenen Seitenlänge abhängig. Wir erhalten deswegen ebenfalls bei jedem neuen Durchgang weniger als 1 neue korrekte Nachkommastelle. Für sehr viele Stellen ist diese Formel also ebenfalls unbrauchbar, allerdings sind grobe Ab-schätzungen für die Kreiszahl sehr schnell möglich. Auch hier erhalten wir für das 96-Eck (5. Durchgang) mit p = 3,143 ein ausreichend gutes Ergebnis.

2.1.1.2 nach Gregory⁽³⁾

Die bekannteste Methode um die Kreiszahl zu bestimmen ist nach dem berühmten Mathematiker des 17. Jahrhunderts James Gregory benannt. Da er sich aber ausschließlich an das Verfahren von Archimedes orientiert hat und seine Formeln im eigentlichen Sinne keine Veränderung zu letzteren darstellen, möchte ich diese lediglich kurz erläutern.

Berechnung

Es handelt sich abermals um den selben Kreis wie bei unseren vorhergehenden Überlegungen mit r = 0,5. Die einbeschriebene Seite s_n ist durch die Punkte A₁ und B₁ bestimmt, während die beiden umbeschriebenen Seiten t_n und t_2n durch A und B beziehungsweise A‘ und B‘ festgelegt sind.

Die beiden Dreiecke DAA₁A‘ und DA₁T₁M sind ähnlich, da sie in zwei Winkeln übereinstim-men. Man kann deshalb folgendes Seitenver-hältnis aufstellen (1):

Zudem besteht folgende Beziehung (2):

sowie (3):

und (4):

Setzt man die letzten drei Formeln (2), (3) und (4) in (1) ein und löst diese geschickt nach t_2n auf, so erhält man folgenden Ausdruck:

Der Umfang und somit p ergeben sich allerdings als Produkt aus Seitenlänge und Seitenzahl, weswegen obige Gleichung noch mit 2n multipliziert wird. Nach Er-weiterung des rechten Terms mit n erhalten wir dann die endgültige Formel:

Wie man sieht, besitzt dieser Term für die Berechnung des Umfangs des umbe-schriebenen Vielecks keine Wurzel. Es ist allerdings ein Wert für den Umfang des einbeschriebenen n-Ecks nötig. Dieser wird nach Gregory wie folgt berechnet.

Wir bleiben bei unserem obigen Kreis. Für unsere Überlegungen ist es jedoch nötig, daß wir die einbeschriebene Seite s_2n miteinbeziehen. Sie ist durch die Punkte A₁ und T definiert. Wiederum betrachten wir zwei ähnliche Dreiecke, diesmal DA’T1‘T und DTT₁A₁, die in zwei Winkel übereinstimmen und stellen die Beziehung auf:

Nun ersetzen wir alle Strecken durch die jeweiligen Seitenbezeichnungen:

Wir lösen nach s_2n auf und erweitern so mit n, daß sich die Formel für den Umfang des einbeschriebenen Vielecks gibt:

Auswertung

Zunächst werden Startwerte für die beiden Formeln benötigt. Wir bedienen uns hierbei dem Verfahren nach Archimedes. Wir setzen U = 3 für das ein- und U = 2 * Ö3 für das erste umbeschriebene Vieleck ein. Wir erhalten dann folgende Tabelle:

Durchlauf	Ergebnis (einbeschrieben)	Korrekte Nachkommastellen
1	3.0000000000...	0
5	3.1410319508...	3
10	3.1415921059...	6
16	3.1415926534...	9
17	3.1415926535...	10
50	3.1415926535...	(14)
1000	3.1415926535...	(14)

Durchlauf	Ergebnis (umbeschrieben)	Korrekte Nachkommastellen
1	3.4641016151...	0
5	3.1427145996...	2
10	3.1415937487...	5
16	3.1415926538...	9
17	3.1415926536...	9
50	3.1415926535...	(14)
1000	3.1415926535...	(14)

Wir sehen, daß die Werte bis zum 16. Durchlauf identisch mit denen des Archimedes-Verfahrens sind. Dies ist mit der Ähnlichkeit der beiden Verfahren begründet. Erst ab dem 17. Versuch unterscheiden sich die Ergebnisse, da bei der Methode nach Gregory keine Probleme mit Rundungen bei sehr kleinen Werten auftreten. Man merkt aller-dings, daß eine Verbesserung ab einer gewissen Anzahl von Versuchen nicht mehr fest-zustellen ist, da die Computer-Variable wie bereits erwähnt auf eine bestimmte Anzahl von Stellen begrenzt ist. In Wirklichkeit würde man, ebenso wie bei Archimedes eine stetige Verbesserung von ungefähr 1 Stelle pro Versuch erhalten.

2.1.2 Annäherung an eine Fläche

Einer der großen Nachteile bei der Bestimmung von p mit Hilfe von ein- und umbe-schriebenen Vielecken ist, daß man die alten Werte stets zur Berechnung von noch genaueren Werten benötigt. Fehler wurden stets mitgeschleppt. Eine weitere Schwach-stelle ist die Wurzel. Will man p auf mehrere Stellen genau errechnen, so muß man die Wurzel für jede Näherung auf unendlich viele Stellen genau bestimmen (siehe Aus-wertung bei 2.1.1.1). Diese beiden Ungünstigkeiten sollen im folgenden Verfahren ver-mieden werden. Nachdem die Kreiszahl in den beiden oberen Beispielen durch die An-näherung des Umfangs verschiedener Vielecke an den Kreisumfang bestimmt worden ist, scheint es nur logisch p nun mit Hilfe der Fläche verschiedener Figuren, in unserem Fall Dreiecke, zu ermitteln. Wir machen uns hier die Trigonometrie, also die Lehre für die Berechnungen am Dreieck, zu nutze. Die Formel für die Flächenberechnung des Kreises wird als bekannt vorausgesetzt. Eine Verbesserung der Werte erhalten wir auch hier durch eine schrittweise Annäherung von Flächen an den Kreis.

Vorüberlegung

Nebenstehende Skizze zeigt einen Kreis mit dem Mittelpunkt M und einem Radius von r = 1. Setzen wir diesen Wert in die als bekannt vorausgesetzte Formel A = r² * p ein, so beträgt die Kreisfläche genau p. In diesen Kreis sind Dreiecke einbeschrieben. Das besondere ist, daß sie alle M als Punkt haben. Dreieck 1 hat einen Winkel von 120° bei M. Es könnten also noch zwei weitere gleiche Dreiecke mit M als Punkt einbeschrieben werden. Die Kreisfläche, also p, ist annähernd der Fläche von 3 Dreiecken des ersten Typs. Dreieck 2 besitzt die selben Eigenschaften wie das erste, hat allerdings nur einen Winkel von 60° bei M. Der Vorteil liegt auf der Hand. Es können 6 Dreiecke vom Typ 2 mit M als Punkt einbeschrieben werden, die die Kreisfläche noch besser ausfüllen. Man kann also sagen, daß der Winkel stets halbiert und die Anzahl der Dreiecke jedoch stets verdoppelt wird, wodurch sich die errechnete Fläche immer besser p annähert.

Berechnung

Die rechte Skizze zeigt eine Vergrößerung des ersten einbeschriebenen Dreiecks, es könnte sich dabei allerdings um jedes beliebige Dreieck mit dem Winkel b bei M handeln.

Schrittweise wird nun versucht, die Fläche A_Dr des Dreiecks durch b auszudrücken.

Man kann sehen, daß sich das gleich-schenklige Dreieck aus zwei rechtwinkligen Dreiecken zusammensetzt. Wir beschränken uns bei unser folgenden Betrachtung zunächst nur auf das obere.

Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck besagen folgendes:

Und:

Für a und b ergeben sich daraus Längen von:

Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kann die Fläche durch die folgende Formel berechnet werden:

Oder mit Hilfe des Additionstheoremes (sin 2